ทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน (Boolean algebra laws)

http://nayuki.eigenstate.org/page/boolean-algebra-laws [1]p.45
boolean_algebra_laws.docx

ความหมาย (Notation)
False: 0
True: 1

NOT x: x
x AND y: x · y
x OR y: x + y
x XOR y: x ⊕ y

ลำดับความสำคัญ สูงไปต่ำ
คือ AND, XOR, OR
x + y · z หมายถึง x + (y · z)
x ⊕ y · z หมายถึง x ⊕ (y · z)
x + y ⊕ z หมายถึง x + (y ⊕ z)

กฎพื้นฐาน (Basic laws)

Constants
NOT:
0 = 1
1 = 0
AND:
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
OR:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
XOR:
0 ⊕ 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0

Constant and variable
AND:
0 · x = 0
1 · x = x
OR:
0 + x = x
1 + x = 1
XOR:
0 ⊕ x = x
1 ⊕ x = x

One variable
NOT:
NOT x = x
AND:
x · x = x
x · x = 0
OR:
x + x = x
x + x = 1
XOR:
x ⊕ x = 0
x ⊕ x = 1
XOR
XOR สามารถเขียนได้ โดยใช้ AND, OR, NOT:
x ⊕ y = (x · y) + (x · y)
x ⊕ y = (x + y) · (x + y)
x ⊕ y = (x + y) · (x · y)

ทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน (Boolean algebra laws)

ทฤษฎีบทที่ 1 การสับเปลี่ยน
(Commutative law)
AND: x · y = y · x
OR: x + y = y + x
XOR: x ⊕ y = y ⊕ x

ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการสมาคม
(Associative law)
AND: (x · y) · z = x · (y · z)
OR: (x + y) + z = x + (y + z)
XOR: (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)

ทฤษฎีบทที่ 3 กฎการกระจาย
(Distributive law)
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
x + (y · z) = (x + y) · (x + z)
x · (y ⊕ z) = (x · y) ⊕ (x · z)

ทฤษฎีบทที่ 4 กฎการระบุ
(Identity law)
x + x = x
x . x = x

ทฤษฎีบทที่ 5 กฎปฏิเสธ
(Negative law)
(x) = x
not x = x

ทฤษฎีบทที่ 6 กฎความฟุ่มเฟือย
(Redundance law)
x + x . y = x
x . (x + y) = x

ทฤษฎีบทที่ 7 กฎคงที่
(Constant law)
0 + x = x
1 . x = x
1 + x = 1
0 . x = 0

ทฤษฎีบทที่ 8 กฎคงที่กับปฏิเสธ
(Negative with Constant law)
x + x = 1
x . x = 0

ทฤษฎีบทที่ 9 กฎความฟุ่มเฟือยปฏิเสธ
(Negative Redundance law)
x + xy = x + y
x . (x + y) = x . y

ทฤษฎีบทที่ 10 De Morgan’s laws
NAND: x · y = x + y
NOR: x + y = x · y

กฎความฟุ่มเฟือย (Redundance law)
การดูดซับ (Absorption)

x + x · y = x
x · (x + y) = x

ไม่มีชื่อ (No name)

x + x · y = x + y
x · (x + y) = x · y
x · y + x · y = x
(x + y) · (x + y) = x